作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就有可能用到教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。教案应该怎么写呢？这次漂亮的小编为亲带来了10篇《初中数学二次根式知识点总结》，希望朋友们参阅后能够文思泉涌。
关于二次根式的知识点总结
1．二次根式：
一般地，式子a,(a0)叫做二次根式。注意：
（1）若a0这个条件不成立，则
（2）是一个重要的非负数，即；a ≥0. a不是二次根式；
2．重要公式：
（1）(a)2a(a0),
（2）a2aa(a0) ；注意使用a(a0). a(a0)
3．积的算术平方根：
abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则：
abab(a0,b0).
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小。
6．商的算术平方根：
式的算术平方根。
7．二次根式的除法法则：
（1）a(a0,b0)； baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb
（2）abab(a0,b0)；
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
8．常用分母有理化因式：
a与a，b与ab， mnb与manb，它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
① 被开方数的因数是整数，因式是整式。
② 被开方数中不含能开的`尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；
（2）隐含条件题；
（3）讨论条件题。
11．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
12．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。形如a,(a0)的式子，叫做二次根式
（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。即a0
（2）二次根式a是一个非负数，即； ≥0.
一、教学目标
1．理解分母有理化与除法的关系．
2．掌握二次根式的分母有理化．
3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．
4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1．教学重点：分母有理化．
2．教学难点：分母有理化的技巧．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【复习提问】
二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．
例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：
（1） （先乘除，后加减）．
（2） （有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．
（3）辨别有理化因式：
有理化因式： 与 ， 与 ， 与 …
不是有理化因式： 与 ， 与 …
化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．
例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？
引入新课题．
【引入新课】
化简式子 ，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以 的有理化因式，而这个式子就是 ，从而可将式子化简．
例2 把下列各式的分母有理化：
（1） ； （2） ； （3）
解：略．
注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．
定义： 式子 叫做二次根式。
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分。
（2） 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
分析： ， ， ， 、、、四个是二次根式。 因为a是实数时，a 10、a2-1不能保证是非负数，即a 10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a 10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是二次根式。
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略．
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义．
例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：
（1） (2) (3) (4)
分析：由二次根式的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2 b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是二次根式。
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是二次根式。
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是二次根式。
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是二次根式。
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的。条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．
解：（1）由2a 3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x| 0.1＞0，于是 ，式子 是二次根式。 所以所求字母x的取值范围是全体实数．
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1．式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．
(四)练习和作业
练习：
1．判断下列各式是否是二次根式
分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式。 因为x是实数时，x、x 1不能保证是非负数，即x、x 1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义。
2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p．172习题11．1；a组1；b组1．
六、板书设计
一、教学目标
1．了解二次根式的意《虎知道·www.huzhidao.com》义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；
3. 掌握二次根式的性质 和 ，并能灵活应用；
4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．
难点：确定二次根式中字母的取值范围．
三、教学方法
启发式、讲练结合．
四、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫平方根、算术平方根？
2．说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根。
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
一、教学过程
（一）复习提问
1．什么叫二次根式？
2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
（3）∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2 1＞0，故x的取值为任意实数．
（二）二次根式的简单性质
上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质
我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：
这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？
请分析：引导学生答如时才成立。
时才成立，即a取任意实数时都成立。
我们知道
如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．
例1计算：
分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中（2）、（3）、（4）题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。
例2把下列非负数写成一个数的平方的。形式：
（1）5；（2）11；（3）1。6；（4）0。35．
例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
（1）4x2―1；（2）a4―9；
（3）3a2―10；（4）a4―6a2 9．
解：（1）4x2―1
=（2x）2―12
=（2x 1）（2x―1）．
（2）a4―9
=（a2）2―32
=（a2 3）（a2―3）
（3）3a2―10
（4）a4―6a2 32
=（a2）2―6a2 32
=（a2―3）2
（三）小结
1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．
2．关于公式的应用。
（1）经常用于乘法的运算中．
（2）可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．
（四）练习和作业
练习：
1．填空
注意第（4）题需有2m≥0，m≥0，又需有―3m≥0，即m≤0，故m=0．
2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：
分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．
3．计算
二、作业
教材p．172习题11．1；a组2、3；b组2．
补充作业：
下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？
分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：
（1）由―｜a―2b｜≥0，得a―2b≤0，
但根据绝对值的性质，有｜a―2b｜≥0，
∴｜a―2b｜=0，即a―2b=0，得a=2b．
（2）由（―m2―1）（m―n）≥0，―（m2 1）（m―n）≥0
∴（m2 1）（m―n）≤0，又m2 1＞0，
∴ m―n≤0，即m≤n．
说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数（式）大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．
三、板书设计
【 学习目标 】
1、知识与技能：了解二次根式的概念，能求根号内字母范围，理解二次根式的双重非负性，并能应用它解决相关问题。
2、过程与方法：进一步体会分类讨论的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过小组合作学习，体验在合作探索中学习数学的乐趣。
【 学习重难点 】
1、重点：准确理解二次根式的概念，并能进行简单的计算。
2、难点：准确理解二次根式的双重非负性。
【 学习内容 】课本第2― 3页
【 学习流程 】
一、课前准备(预习学案见附件1)
学生在家中认真阅读理解课本中相关内容的知识，并根据自己的'理解完成预习学案。
二、课堂教学
(一)合作学习阶段。
教师出示课堂教学目标及引导材料，各学习小组结合本节课学习目标，根据课堂引导材料中得内容，以小组合作的形式，组内交流、总结，并记录合作学习中碰到的问题。组内各成员根据课堂引导材料的要求在小组合作的前提下认真完成课堂引导材料。教师在巡视中观察各小组合作学习的情况，并进行及时的引导、点拨，对普遍存在的问题做好记录。
(二)集体讲授阶段。(15分钟左右)
1. 各小组推选代表依次对课堂引导材料中的问题进行解答，不足的本组成员可以补充。
2. 教师对合作学习中存在的普遍的不能解决的问题进行集体讲解。
3. 各小组提出本组学习中存在的困惑，并请其他小组帮助解答，解答不了的由教师进行解答。
(三)当堂检测阶段
为了及时了解本节课学生的学习效果，及对本节课进行及时的巩固，对学生进行当堂检测，测试完试卷上交。
(注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行)
三、课后作业(课后作业见附件2)
教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
四、板书设计
课题：二次根式(1)
二次根式概念 例题 例题
二次根式性质
反思：
目 标
1． 熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；
2． 会运用二次根式解决简单的实际问题；
3． 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。
教学设想
本节课的重点是：二次根式及其运算的实际应用；难点是：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂。
教 学 程序 与 策 略
一、预习检测：
1.解决节前问题：
如图，架在消防车上的云梯ab长为15m，ad：bd=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离bc为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离ae吗？
归纳：
在日常生活和生产实际中，我们在解决一 些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。
二、合作交流：
1、：如图，扶梯ab的坡比（be与ae的长度之比）为1:0.8，滑梯cd的坡比为1:1.6，ae= 米，bc= cd。一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程（结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）
让学生有充分的时间阅读问题，并结合图形分析问题：（1）所求的路程实际上是哪些线段的和？哪些线段的长是已知的？哪些线段的长是未知的？它们之间有什么关系？（2）列出的算式中有哪些运算？能化简吗？
注意解题格式
教 学 程 序 与 策 略
三、巩固练习：
完成课本p17、1，组长检查反馈；
四、拓展提高：
1：如图是一张等腰三角形彩色纸，ac=bc=40cm，将斜边上的高cd四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm。
师生共同分析解题思路，请学生写出解题过程。
五、课堂小结：
1.谈一谈：本节课你有什么收获？
2.运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的的问题
六、堂堂清
1: 作业本（2）
2：课本p17页：第4、5题选做。
教案
教法：
1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；
2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：
1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
知识点
上节课我们认识了什么是二次根式，那么二次根式有什么性质呢？本节课我们一起来学习。
二、展示目标，自主学习：
自学指导：认真阅读课本第3页――4页内容，完成下列任务：
1、请比较与0的大小，你得到的结论是：________________________。
2、完成3页“探究”中的填空，你得到的结论是____________________。
3、看例2是怎样利用性质进行计算的。
4、完成4页“探究”中的填空，你得到的结论是：____________________。
5 、看懂例3，有困难可与同伴交流或问老师。
课时作业
教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？（≈1.414，结果保留整数）
中考数学二次根式复习注意问题
1.首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0.
2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
二次根式的基础知识
1.最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
2. 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
注意问题归纳：
最简二次根式的判断方法：
1.最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号);
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
2.判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断。要注意同类二次根式与根号外的因式无关。
二次根式的相关概念
(1)平方根和算术平方根。一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为，我们规定0的算术平方根是0，即。如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)，记为±。一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
(2)立方根。如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练 地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的 性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各 式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件 下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式 的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和， x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x-2且x0．
解因为n2-90， 9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3 -a0和1-a＞0．
解 因为1-a＞0，3-a0，所以
a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0．
这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
注意：
所以在化简过程中，
例6
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a b＝2(n 2)，ab=(n 2)2-(n2-4)＝4(n 2)，
三、课堂练习
1．选择题：
a．a2b．a2
c．a2d．a＜2
a ．x 2 b．-x-2
c．-x 2d．x-2
a．2x b．2a
c．-2x d．-2a
2．填空题：
4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业
1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
2．把下列各式化成最简二次根式：
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