关键词：定义；研究；数学分析；极限问题
中图分类号：o17文献标识码：a文章编号：1671—1580（2013）09—0153—02
对数列极限的定性描述是通过“无限趋近”和“无限增大”这一朴素的语言来给出的，但其在数学上却无法进行严谨的论证，因此须将数列极限的定性描述上升到精确的定量描述。极限是微积分的理论基础，研究函数的实质是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分、级数等等。极限是数学分析乃至全部高等数学的精髓所在，极限的思想贯穿于数学分析始终，所以利用极限思想方法研究和解决数学中的问题显得尤为重要。而数学中的概念与定义是数学的基础，文章借助数学分析中一些重要的定义，利用极限思想去解决有关极限问题。极限在数学分析中是一个非常重要的概念，是用来研究积分学和微分学的重要工具。极限的概念最初是产生于求曲线在某一点的切线斜率和求曲边形面积的两个基本问题，由此更可以看出极限的重要性。求极限的方法总结起来主要有以下五种：用函数定义分析有关极限问题；数列极限转化为函数极限；利用函数的连续性；利用导数的定义求极限；利用定积分求和式的极限。
一、用函数极限的定义分析有关极限问题
五、用定积分的定义分析有关极限问题
总而言之，数学分析中的一系列重要概念，入函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义。数学中的定义不仅是数学的基础，是进行数学思维的物质基础，也是研究好数学的关键。本文就借助函数极限的有关定义、数列极限的定义、函数的连续性的定义、导数的定义以及定积分的定义等来解决有关极限的问题。
[参考文献]
[1]李念伟。数学教学中分析与综合的思维方法[j].中国科教创新导刊，2012（14）.
[2]马晓珏。数学分析与高等数学教材中对极值相关问题处理的比较分析[j].产业与科技论坛，2011（02）.
[3]赵亚林。积分等式证明的几种途径[j].青海大学学报（自然科学版），2001（06）.
一、问题的提出
引例1：计算（）n3。
解：（）n3 =[（1 ）]2（1 ）-1=e2。
本例中数列极限（1 ）=e许多学生认为是由于（1 ）n=e，但这种想法似是而非，严格地讲这是由（1 ）x=e得出来的，同一个类型的例子基本上都是这样，由此可见x=e这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。
引例2：证明（1 ）x=e。
证：对于任意的x>1，有（1 ）[x]
其中[x]表示x的整数部分，令x-> ∞ 时，不等式左右两侧表现两个数列的极限 （1 ）n=e与（1 ）n 1=e，再利用函数极限的夹逼定理得到（1 ）x=e。
接下来我们重点了解一下能不能从数列极限 （1 ）n=e求函数极限 （1 ）[x]=e 。研究数列极限和函数极限时，许多学生会想到海涅定理，根据海涅定理， （1 ）[x]=e的充分必要条件是对于任意趋于 ∞的数列{n }都有。
当xn=n时，数列{（1 ）1，（1 ）2，（1 ）3 ……（1 ）n……}，所以（1 ）n=（1 ）n=e。
当xn=n2时，数列={（1 ）1，（1 ）4，（1 ）9，……（1 ）n2……}是数列{（1 ）n}的子列，所以（1 ）[x]=（1 ）n=e。但是当 xn=时，数列{（1 ）[xn]}={（1 ）1，（1 ）1（1 ）1，（1 ）2，…，（1 ）}，显然数列{（1 ）n}是数列{（1 ）[xn]}的子列，因此从逻辑上我们就不能直接用（1 ）n=e得到（1 ）[xn]= e，也就不能直接得到（1 ）[x]=e，至于有的教材中直接将{（1 ）[xn]} 认为是{（1 ）n}的子列，则明显错误的。
二、得到的重要结果
通过上面的分析，我们就可以提出下面的定理。
定理1 设f（x）在[a， ∞]上有定义，（a>0），如果存在数列{xn }，{yn }满足对于任意x>=a，当n
证明：对于任意 a>0，由于 xn= yn=a，所以存在n∈n （假设n≥a），当n>n时，就会有x-an且n0≤x≤n0 1，由条件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-a≤f（x）-a≤yn-a，于是f（x）-a≤max{xn-a，yn-a}
由极限定义知f（x）=a。
例1：证明=（1 ）x=e。
证明：对于任意x≥1，当时n≤x
而 （1 ）n=（1 ）n 1=e，即有（1 ）n
由定理1可知 （1 ）x=e。
例2：证明 x=1。
证明：对于任意的x≥1，当n≤n 1时有=[x]
在学习定积分时且遇到下面的问题：
例3 ： 计算极限。
解： 对于任意的x≥，当≤x≤（k∈n ）时，有costdt≤costdt costdt=1 2k及costdt≥costdt costdt=1 2（k-1），于是=≤≤=，而且==。
所以受定理1的启发，结论应该是=。
关键词：农业院校；微积分；高效课堂教学模式
中图分类号： g642.0 文献标识码： a 文章编号： 1673-1069（2016）18-123-2
0 引言
众所周知，传授知识是教育的核心。在信息社会的今天，农业院校如何上好数学课程，如何提升教学效果，成为每个农业院校数学教师必须研究的问题。基于农业院校的微积分高效课堂教学模式构建的关键就在于我们能否营造出一个以学生为中心，以教师为辅助的课堂，因为只有让学生动起来才能让课堂活起来，只有以学生为主体才能提高整个课堂教学效果。现以“极限”的教学活动为例，浅谈采用“感知情趣―探究总结―巩固梳理”的“352”高效课堂教学模式的构建策略。
1 课堂设计
极限是微积分中的基础概念，本科微积分的一系列重要概念，如函数的连续性、导数、微分、积分等都是借助于极限来定义的。同时极限是本科数学教学中必不可少的重要方法。但在传统的课堂教学中教师把极限简单地分割成数列极限和函数极限两部分，在定义介绍时又要讲解单点处极限、无穷远处极限、左右极限等概念，这些概念比较抽象，对于大部分普通农业院校的学生在学时的课堂教学中感到很难理解，十分吃力，导致对他们无法及时掌1握极限，甚至使他们对微积分后续教学内容产生了厌学情绪。因此本节教学活动能否建立在学生兴趣的基础之上，保证每一位学生有兴趣去思考极限、观察极限、理解极限，调动起学生的学习兴趣是完成本节教学内容的关键。我们设计首先通过简单地生活化问题情境激发学生探究欲望，然后逐步引导学生开展探究，组织学生尝试解答疑问，再通过讨论交流的方式得出结论，最后通过练习反馈，提升教学内容，完成教学要求。
2 教学过程
2.1 感知情趣，导出课程
首先进行情景引入，例如教师向学生介绍“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩内容。然后要求学生讨论诡辩是否正确，为什么。组织学生思考、回答、相互评价，然后教师再引导分析。当有的同学提到了极限，引导学生思考极限是什么。通过引导让学生对数列极限有一个形象化的了解。最后向学生介绍 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，引导学生讨论 “万世不竭”的含义，使学生加强数列极限的理解。
2.2 探究总结，深入课程
教师向学生介绍 “割圆求周”的方法，现场模拟割圆术，让学生直观地感受到“无穷数列的变化趋势”，加深学生对“变化趋势”、“无限接近”、“极限”等感性的认识。组织学生归纳出数列极限的直观描述性定义，总结其数学思想。
组织学生讨论无穷数列{}，{}，{}的变化趋势及共性特征。通过讨论，使学生了解可以用研究函数值的变化趋势的观点来研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程。引导学生讨论当n无限增大时，上述数列趋近常数的方式有哪几种类型，是否每个无穷数列都有极限。
接着，以数列{}为例，提出问题： 根据数列极限的直观描述性定义，这个数列的极限是1，为什么不说这个数列的项无限地趋近于0.99999999999。让学生真切体会到描述性定义虽然通俗易懂但不精确，科学的极限定义必须超越直观与想象，并在运算和推理论证中具有可操作性，这时引导学生将“无限增大”、“无限接近”等定性描述进行定量刻画，由数列极限的直观描述性定义过渡到严格定义，形成极限的概念。
引导学生理解直线上两点间的距离，可用这两点对应的数值之差的绝对值来表示，从而将接近程度与绝对值联系到一起。引导学生将“无限接近”转化成“距离无限减小”，再把“距离无限减小”严格化。
组织学生按照教师给出的阅读提示阅读教材。引导学生思考对于极限还知道些什么，还有哪些与之相关的问题。激发学生的探究欲望，导出探究内容――如何找到极限，都有哪些极限，有何区别，“收敛”该如何理解。组织讨论如何用数列极限定义证明=1，引导学生思考欲证明极限存在需要满足什么样地关系式，又该如何找到n。
最后，教师组织学生通过数列{}和函数f（x）=在无穷远点的区别和联系的讨论，思考无穷远点处的函数极限的定义；通过函数f（x）=x在无穷远点处和原点处的区别和联系的讨论，思考单点处的函数极限的定义；通过函数f（x）=在x分别从x轴正方向和负方向趋近原点处的区别和联系的讨论思考函数的左右极限的定义，并将其扩展到
f（x）和f（x）。
2.3 巩固梳理，归纳课程
以学生为中心，组织学生讨论（x1）和f（x）=1 x2 x≤0
2x x>0（x0）的极限计算，并由有思路的同学讲解，都解决不了的再由老师提示或讲解。再通过随堂练习检验学生对课程内容的掌握情况，及时对学生的错误进行矫正。通过探索开放性练习：试说出满足an=2的几个数列。引导学生从各个方面对自己进行小结和评价。
最后教师和学生共同梳理归纳本次课程所学的知识，总结自己的收获。
3 特点和流程
本次课程是“感知情趣―探究总结―巩固梳理”的“352”高效课堂教学模式典型课例，充分体现了该模式的突出特点：以兴趣为引导，以学生为主体，以探究为手段，以目标为中心，以问题为线索，以能力为目的。用较少的学时完成适量的教学内容，减轻农业院校学生学习负担。
从本次课程中也能清晰地看出“感知情趣―探究总结―巩固梳理”的“352”高效课堂教学模式流程如图1所示。
4 小结
教师首先要根据教学目标和重难点创设问题情境，并通过这些问题情境，激发学生的学习兴趣，启迪他们思考，激发学生探究欲望，使教师在此基础上提出探究问题，为后续展开做铺垫。能否设计合理的问题情境是关键所在。其次，针对提出的疑问，引导学生进行讨论和探究。最后教师通过反馈练习，来检验学生的掌握情况，并对发现的问题进行及时矫正。
当然这种高效课堂教学模式还有很多缺陷，比如多种教学手段如何灵活运用，各个环节时间如何分配，100人的大课堂如何进行等，这些问题还需要在具体的教学实践中逐渐探索解决。
参 考 文 献
[1] 路文。关于构建高效课堂教学模式的思考[j].吕梁教育学院学报，2011，28（2）：33-34.
[2] 余佩，白伟伟。信息888贵宾会的技术支持下的高效课堂教学模式研究――以交互式电子白板为例[j].软件导刊，2013（9）：180-182.
[3] 李玉婷，“352”高效课堂教学模式与传统教学模式比较研究[d].河南大学，2014：22-31.
它山之石可以攻玉，以上就是壶知道为大家整理的3篇《数列的极限》，能够帮助到您，是壶知道最开心的事情。